Pruebas pareadas

na de las hipótesis sobre las que habitualmente se fundamentan las pruebas estadísticas de comparación de grupos es que las observaciones pertenecientes a cada una de las muestras son independientes entre sí, no guardan relación; siendo precisamente ese uno de los objetivos de la aleatorización (elección aleatoria de los sujetos o unidades de observación, asignación aleatoria del tratamiento a cada paciente, etc). Sin embargo, como veremos en este artículo, la falta de independencia entre las observaciones de los grupos puede ser una característica de diseño del estudio para buscar fundamentalmente una mayor eficiencia del contraste estadístico al disminuir la variabilidad. En otras ocasiones con este tipo de diseño pareado lo que se busca es dar una mayor validez a las inferencias obtenidas, controlando o eliminando la influencia de variables extrañas cuyo efecto ya es conocido o sospechado, y no se desea que intervenga en el estudio actual pudiendo enmascarar el efecto del tratamiento o de la variable de interés.

Pruebas pareadas para variables cuantitativas

Si estamos comparando un resultado cuantitativo en dos grupos de datos, a partir de muestras extraídas de forma aleatoria de una población normal, siendo n_A el tamaño de la primera muestra y n_B el de la segunda, la cantidad:

(donde  son las medias muestrales, las correspondientes medias poblacionales, s la desviación típica muestral conjunta), se distribuye como una t de Student con n_A+n_B-2 grados de libertad, proporcionándonos una referencia probabilística con la que juzgar si el valor observado de diferencia de medias nos permite mantener la hipótesis planteada, que será habitualmente la hipótesis de igualdad de las medias (por ejemplo igualdad de efecto de los tratamientos), o lo que es lo mismo nos permite verificar si es razonable admitir que  a la luz de los datos obtenidos en nuestro experimento.

Veamos un pequeño ejemplo. Se efectuó un estudio para comparar dos tratamientos en cuanto a la mejoría en la salud percibida, determinada mediante un cuestionario de calidad de vida en pacientes hipertensos. Se asignaron 10 pacientes de forma aleatoria a cada uno de los grupos de tratamiento, obteniéndose los siguientes resultados:

Tabla 1

Si calculamos el valor de t según la fórmula anterior (o utilizando la calculadora disponible en el enlace que indicamos más abajo) obtenemos:

Tabla 2

Tabla 3

De acuerdo con esos resultados, al ser la probabilidad obtenida alta, vemos que no hay razones para rechazar la hipótesis de que no existe diferencia entre los grupos (P= 0.7165), aceptamos que las medias son iguales, lo que podemos también comprobar de forma gráfica, si representamos cada serie de valores en dos posiciones del eje X, obteniendo un gráfico como el representado en la figura 1.

Ahora bien, sabemos que dos variables que influyen en los resultados de los cuestionarios de calidad de vida percibida son la edad y el sexo de los pacientes. Al asignar de forma aleatoria los pacientes a cada grupo de tratamiento esperamos que las variables que puedan influir en el resultado, diferentes del propio tratamiento asignado, se distribuyan en ambos grupos de forma parecida; pero cuando de antemano conocemos que algunas variables sí influyen en el parámetro objeto de estudio, podemos controlarlas en el diseño para evitar que puedan afectar al resultado, sobre todo cuando vamos a trabajar con una muestra pequeña.

Así en nuestro ejemplo podemos dividir los pacientes dentro de cada sexo en varios grupos de edad y buscar parejas de pacientes con el mismo sexo y con edades similares. Dentro de cada pareja, seleccionada con ese criterio (igual sexo y edad similar), asignamos de forma aleatoria cada uno de los tratamientos.

Esto es lo que precisamente habíamos hecho en el estudio de la tabla 1: habíamos dividido la edad en 5 categorías y seleccionado 5 parejas de hombres y 5 de mujeres en cada grupo de edad. Dentro de cada par hemos asignado de forma aleatoria el tratamiento A o el B a cada uno de sus elementos.

En este caso hemos «diseñado» un estudio, en el que mediante el emparejamiento estamos controlando (o bloqueando) la influencia de las variables edad y sexo.

Ahora en el análisis estadístico de los datos, para tener en cuenta el diseño, hay que comparar cada pareja de valores entre sí.

Pero antes de hacer un análisis estadístico vamos a representar gráficamente el nuevo planteamiento.

Si calculamos las diferencias entre el valor del elemento B y el elemento A y las representamos gráficamente obtenemos la figura 2, donde hemos dibujado una línea horizontal en el valor 0, que corresponde a la igualdad entre los tratamientos.

Figura 2

Vemos que el panorama cambia radicalmente con respecto a la figura 1, ya que ahora la mayor parte de los puntos están por encima de esa línea de igualdad de efecto, reflejando una mayor puntuación por término medio en el tratamiento B que en el A dentro de las parejas.

En la siguiente tabla vemos los resultados del análisis estadístico, muy diferentes de los obtenidos en la tabla 1 en la que no se tenía en cuenta el tipo de diseño:

Tabla 4

Ahora hemos calculado la media de las diferencias d, y su desviación típica s_d en las n parejas. El error estándar de la media de las diferencias es:

Por lo que el valor de t será ahora

que en la hipótesis de igualdad -media de las diferencias igual a cero-, se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad.

Aunque perdemos grados de libertad, siendo por ese lado la prueba menos potente, sin embargo al disminuir la variabilidad se aumenta la eficiencia de la prueba. No siempre será tan dramática la diferencia entre ambos planteamientos, ya que en este caso se trata de datos preparados y en la realidad las cosas no suelen salir tan redondas.

Cuando efectivamente influye en el resultado la variable que nos ha llevado a decidir utilizar un diseño pareado, las medidas dentro de cada pareja estarán correlacionadas, por lo que siempre podemos comprobar a posteriori si esto es así, calculando el coeficiente de correlación, que debiera ser positivo y de cierta entidad.

El concepto de prueba pareada se puede extender a comparaciones de más de dos grupos y hablaremos entonces de bloques de m elementos (tantos elementos por bloque como grupos o tratamientos), siendo por tanto una pareja un caso particular de bloque de 2 elementos. Hablaremos de este tipo de diseños más adelante, cuando dediquemos algún artículo al análisis de la varianza, que es la prueba que se utiliza para comparar más de dos grupos. En estas técnicas de formación de bloques el investigador deja de ser un mero observador, para pasar a «diseñar» el estudio o experimento, y es una metodología de gran utilidad en muchos tipos de trabajos de investigación en diversas áreas, desde la agricultura donde se inició, a la medicina, biología, e ingeniería. El fundamento en el que se basan es en suponer que el bloque es más homogéneo que el conjunto, por lo que restringiendo las comparaciones entre tratamientos al interior de los bloques se espera obtener una mayor precisión.

Hay que destacar que no siempre el diseño pareado es el más efectivo, ya que como se apuntó anteriormente hay una disminución en los grados de libertad que debe ser compensada con la reducción de varianza para que la prueba resulte más efectiva. Hay muchas situaciones en las que las observaciones «próximas» están relacionadas negativamente, de tal manera que las comparaciones entre parejas son entonces menos parecidas que otras comparaciones.

En los estudios clínicos el emparejamiento se utiliza habitualmente más que por razones de eficiencia para «aumentar» la validez de las inferencias obtenidas, mediante el control de posibles variables confusoras. Por ello se desaconseja, en el criterio para emparejar, la utilización de variables sobre las que no estemos seguros de su influencia en el resultado de interés.

Pruebas pareadas para variables cualitativas

El concepto de diseño pareado se puede aplicar también al análisis de datos cuyo resultado es una categoría. Veamos la situación más sencilla, para el caso de que la variable cualitativa sea dicotómica o binaria, con sólo dos posibles repuestas. Este planteamiento es habitual en algunos estudios de casos-controles, en los que cada caso se empareja con un control de acuerdo con un criterio determinado, y en el que se trata de valorar la frecuencia de la presencia de un factor de riesgo. Podemos representar los resultados en una tabla de la siguiente forma:

donde en cada celda se refleja el número de parejas; así a es el número de parejas en las que el factor de riesgo está presente tanto en el caso como en el control, y d es el número de parejas en las que ni en el caso ni el control se da el factor de riesgo. Es evidente que en esas dos celdas hay concordancia entre lo observado en el caso y lo observado en el control, dentro de la pareja, y que por tanto no afectarán al resultado en cuanto a diferencias entre casos y controles, siendo sólo los pares discrepantes b, c los que aportan información en ese sentido.

La proporción de controles que presentan el factor de riesgo es

y la proporción de casos con el factor de riesgo

La diferencia de proporciones en cuanto a presencia del factor de riesgo entre casos y controles es:

donde como ya anticipábamos las cantidades a y d no intervienen. El error estándar de esa diferencia viene dado por:

El cuadrado del cociente entre la diferencia y su error estándar, se distribuye bajo la hipótesis de igualdad como una chi² con 1 grado de libertad, y el contraste se conoce como prueba de McNemar:

Si se aplica la corrección de continuidad (recomendable sobre todo si el tamaño de muestra es pequeño o hay celdas con frecuencias pequeñas), la fórmula anterior se modifica ligeramente:

donde de nuevo solo intervienen los pares con desacuerdo.

El error estándar de este odds ratio se calcula como

En una primera impresión puede sorprendernos la fórmula para el cálculo del odds ratio, pero su obtención es sencilla si pensamos que en realidad cada pareja es un estrato con 2 elementos, y que no debemos combinar las tablas obtenidas en cada estrato juntándolas sin más. Si aplicamos para el cálculo del odds ratio combinado el método habitual conocido como de Mantel-Haenszel obtendremos la fórmula anterior.

Este planteamiento se puede extender también al caso de una variable con más de dos respuestas (prueba de Stuart-Maxwell) o también al caso de agrupaciones de más de dos elementos por bloque.

Enlaces de interés

 Matching J Martin Bland & Douglas G Altman BMJ 1994;309:1128 (29 October)

Calculadora on-line de la prueba t de Student para muestras independientes o pareadas

Interpreting the paired t test
The Prism Guide to Interpreting Statistical Results

Calculadora on-line para la prueba de Mc-Nemar

Luis Miguel Molinero Casares

Mayo 2003